পিথাগােরাসের উপপাদ্য-Pythagoras Theorem।। মাধ্যমিক গনিত উপপাদ্য

Pythagoras Theorem-পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগােরাসের উপপাদ্য-Pythagoras Theorem।। মাধ্যমিক গনিত উপপাদ্য

উপপাদ্য : 49.
পিথাগােরাসের উপপাদ্য : যে - কোনাে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ।

Pythagoras Theorem-পিথাগোরাসের উপপাদ্য

প্রদত্ত : ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার কোন A সমকোণ

প্রমাণ করতে হবে : BC^2 = AB^2 + AC^2

অঙ্কন : সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC- এর উপর AD লম্ব অঙ্কন করলাম যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে ।

 প্রমাণ : সমকোণী ত্রিভুজ ABC- এর অতিভুজ BC- এর উপর AD লম্ব ।

 . : . ∆ABD ও ∆CBA সদৃশ ।
সুতরাং ,
              AB/BC =BD/AB,
             .•. AB^2 = BC.BD...........(i)
আবার , ∆CAD ও ∆CBA সদৃশ

সুতরাং ,
              AC/BC =DC/AB,
             .•. AC^2 = BC.DC.........(ii)

 সুতরাং ( I ) ও ( II ) যােগ করে পাই ,
                 AB^2 + AC^2 = BC.BD + BC.DC

                 = BC ( BD + DC ) = BC.BC = BC^2

             : . BC^2 = AB^2 + AC^2[ প্রমাণিত ]






উপপাদ্য : 50 .
পিথাগােরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য : যে - কোনাে ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে । প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে ।

Pythagoras Theorem-পিথাগোরাসের উপপাদ্য

প্রদত্ত : ∆ABC- এর AB বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল BC ও AC বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান । অর্থাৎ , AB^2 = AC^2 + BC^2

প্রমাণ করতে হবে : কোনACB = 1 সমকোণ

অঙ্কন : CB- এর সমান করে FE সরলরেখাংশ অঙ্কন করলাম । FE বাহুর উপর F বিন্দুতে লম্ব অঙ্কন করলাম এবং সেই লম্ব থেকে CA বাহুর সমান করে FD অংশ কেটে নিলাম এবং D ও E বিন্দুদ্বয় যােগ করলাম ।

প্রমাণ :
AB^2 = BC^2 + AC^2 [ প্রদত্ত ]
     = EF^2 + DF^2 [অঙ্কনানুসারে , EF = BC এবং AC = DF ]
    = DE^2 [ : ·/_DFE = 1 সমকোণ ]
    .. AB = DE

এখন ∆ABC ও ∆DEF-তে ,AB = DE ,BC = EFএবংAC = DF

 : . ∆ABC ~= ∆DEF ( S - S - S সর্বসমতার শর্তানুসারে )

 : ./_ACB = /_DFE = 1 সমকোণ [ .DF লম্ব EF অঙ্কনানুসারে ]

. : . /_ACB = 1 সমকোণ ( প্রমাণিত ] । .